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Una cadena de Márkov, que recibe su nombre del matemático ruso Andrei Andreevitch Markov (1856-1922), es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Márkov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.
Este tipo de proceso, introducido por Márkov en un artículo publicado en 1907,[1] presenta una forma de dependencia simple, pero muy útil en muchos modelos, entre las variables aleatorias que forman un proceso estocástico. En los negocios, las cadenas de Márkov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.
Definición formal [editar]
En matemáticas, se define como un proceso estocástico discreto que cumple con la propiedad de Márkov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para describir en probabilidad su estado futuro.
Una cadena de Márkov es una secuencia X1, X2, X3,... de variables aleatorias. El rango de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n. Si la distribución de probabilidad condicional de Xn+1 en estados pasados es una función de Xn por sí sola, entonces:
P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n, X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots, X_2=x_2, X_1=x_1) = P(X_{n+1}=x_{n+1}|X_n=x_n). \,
Donde xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la propiedad de Márkov.
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Notación útil [editar]
Cadenas homogéneas y no homogéneas [editar]
* Una cadena de Markov se dice homogénea si la probabilidad de ir del estado i al estado j en un paso no depende del tiempo en el que se encuentra la cadena, esto es:
P(X_n=j|X_{n-1}=i)=P(X_1=j|X_0=i) \, para todo n y para cualquier i, j.
Si para alguna pareja de estados y para algún tiempo n la propiedad antes mencionada no se cumple diremos que la cadena de Markov es no homogénea.
Probabilidades de transición y matriz de transición [editar]
* La probabilidad de ir del estado i al estado j en n unidades de tiempo es
p_{ij}^{(n)} = \Pr(X_n=j\mid X_0=i) \,,
en la probabilidad de transición en un paso se omite el superíndice de modo que queda
p_{ij} = \Pr(X_1=j\mid X_0=i). \,
* Un hecho importante es que las probabilidades de transición en n pasos satisfacen la ecuación de Chapman-Kolmogorov, esto es, para cualquier k tal que 0 < k < n se cumple que
p_{ij}^{(n)} = \sum_{r \in E} p_{ir}^{(k)} p_{rj}^{(n-k)}
donde E denota el espacio de estados.
* Cuando la cadena de Markov es homogénea, muchas de sus propiedades útiles se pueden obtener a través de su matriz de transición, definida entrada a entrada como Ai,j = pij
esto es, la entrada i, j corresponde a la probabilidad de ir del estado i a j en un paso.
Del mismo modo se puede obtener la matriz de transición en n pasos como:
A_{i,j}^{(n)}=P_{i j}^{(n)}, donde P_{i j}^{(n)}=P(X_n=j|X_0=i).
Vector de probabilidad invariante [editar]
* Se define la distribución inicial \pi (x) = P(X_0=x) \,.
* Diremos que un vector de probabilidad (finito o infinito numerable) es invariante para una cadena de Markov si
\nu P = \nu \,
donde P denota la matriz de transición de la cadena de Markov. Al vector de probabilidad invariante también se le llama distribución estacionaria o distribución de equilibrio.
Clases de comunicación [editar]
* Para dos estados i,j en el espacio de estados E, diremos que de i se accede a j (y se denotará i \rightarrow j) si
p_{ij}^{(n)} > 0 \, para algún n,
si i \rightarrow j y j \rightarrow i entonces diremos que i comunica con j y se denotará i↔j.
La propiedad "↔" es una relación de equivalencia. Esta relación induce una partición en el espacio de estados. A estas clases de equivalencia las llamaremos clases de comunicación.
Dado un estado x, denotaremos a su clase de comunicación como C(x).
* Diremos que un subconjunto C del espacio de estados (al que denotaremos E) es cerrado si ningún estado de E-C puede ser accedido desde un estado de C, es decir, si p_{x,y}^{(m)} = 0 para todo x∈C, para todo y∈E-C y para todo natural m>0.
Tiempos de entrada [editar]
Si C \subset E, definimos el primer tiempo de entrada a C como la variable aleatoria
T_C = \begin{cases} min\{n > 0 | X_n \in C \} & \mbox{si } \{ n>0 | X_n \in C \} \ne \empty \\ \mathcal{1} \, &\mbox{si } \{ n>0 | X_n \in C \} = \empty \end{cases}
esto es, TC denota la primera vez que la cadena entra al conjunto de estados C.
Recurrencia [editar]
En una cadena de Markov con espacio de estados E, si x∈E se define L_x = \mathbb{P} \,(X_n = x \ para \ algun \ n \in \mathbb{N} \, | X_0=x) y diremos que:
* x es estado recurrente si Lx = 1.
* x es transitorio si Lx < 1
* x es absorbente si px,x = 1
* Una clase de comunicación es clase recurrente si todos sus estados son recurrentes.
Sea \mu_x = \mathbb{E} \, (T_x|X_0 = x) , si x∈Ediremos que:
* x es cero-recurrente si \mu_x = \mathcal{1} \,
* x es positivo-recurrente si \mu_x < \mathcal{1} \,
El real μx se interpreta como el tiempo promedio de recurrencia.
Periodicidad [editar]
* El periodo de un estado x∈E se define como:
d(x) = mcd\{ n: P_{x,x}^{(n)} > 0\}
donde mcd denota el máximo común divisor.
* Si d(x)=1 diremos que x es un estado aperiódico.
* Una cadena de Markov se dice aperiódica si todos sus estados son aperiódicos.
Tipos de cadenas de Markov [editar]
Cadenas irreducibles [editar]
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Una cadena de Markov se dice irreducible si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes entre sí):
1. Desde cualquier estado de E se puede acceder a cualquier otro.
2. Todos los estados se comunican entre sí.
3. C(x)=E para algún x∈E.
4. C(x)=E para todo x∈E.
5. El único conjunto cerrado es el total.
La cadena de Ehrenfest o la caminata aleatoria sin barreras absorbentes son ejemplos de cadenas de Markov irreducibles.
Cadenas positivo-recurrentes [editar]
Una cadena de Markov se dice positivo-recurrente si todos sus estados son positivo-recurrentes. Si la cadena es además irreducible es posible demostrar que existe un único vector de probabilidad invariante y está dado por:
\pi_x = 1/\mu_x \,
Cadenas regulares [editar]
Una cadena de Markov se dice regular (también primitiva o ergódica) si existe alguna potencia positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero.
Cuando el espacio de estados E es finito, si P denota la matriz de transición de la cadena se tiene que:
\lim_{n \to \mathcal{1} \,}P^n= W
donde W es una matriz con todos sus renglones iguales a un mismo vector de probabilidad w, que resulta ser el vector de probabilidad invariante de la cadena. En el caso de cadenas regulares, éste vector invariante es único.
Cadenas absorbentes [editar]
Una cadena de Markov con espacio de estados finito se dice absorbente si se cumplen las dos condiciones siguientes:
1. La cadena tiene al menos un estado absorbente.
2. De cualquier estado no absorbente se accede a algún estado absorbente.
Si denotamos como A al conjunto de todos los estados absorbentes y a su complemento como D, tenemos los siguientes resultados:
* Su matriz de transición siempre se puede llevar a una de la forma
P = \begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I \end{pmatrix}
donde la submatriz Q corresponde a los estados del conjunto D, I es la matriz identidad, 0 es la matriz nula y R alguna submatriz.
* P_x(T_A < \mathcal{1} \,) = 1 , esto es, no importa en donde se encuentre la cadena, eventualmente terminará en un estado absorbente.
Cadenas de Markov en tiempo continuo [editar]
Si en lugar de considerar una secuencia discreta X1, X2,..., Xi,.. con i indexado en el conjunto \mathbb{N}\;\! de números naturales, se consideran las variables aleatorias Xt con t que varía en un intervalo continuo del conjunto \mathbb{R}\;\! de números reales, tendremos una cadena en tiempo continuo. Para este tipo de cadenas en tiempo continuo la propiedad de Márkov se expresa de la siguiente manera:
P(X(t_{n+1})=x_{n+1} | X(t_n)=x_n, \ldots, X(t_1)=x_1) = P(X(t_{n+1})=x_{n+1}|X(t_n)=x_n) tal que t_{n+1} > t_n > t_{n-1} > \dots > t_1
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Aplicaciones [editar]
Física [editar]
Las cadenas de Markov son usadas en muchos problemas de la termodinámica y la física estadística. Ejemplos importantes se pueden encontrar en la Cadena de Ehrenfest o el modelo de difusión de Laplace.
Meteorología [editar]
Si consideramos el clima de una región a través de distintos días, es claro que el estado actual solo depende del último estado y no de toda la historia en sí, de modo que se pueden usar cadenas de Markov para formular modelos climatológicos básicos.
Modelos epidemiológicos [editar]
Una importante aplicación de las cadenas de Markov se encuentra en el proceso Galton-Watson. Éste es un proceso de ramificación que se puede usar, entre otras cosas, para modelar el desarrollo de una epidemia (véase modelaje matemático de epidemias).
Internet [editar]
El pagerank de una página web (usado por google en sus motores de búsqueda) se define a través de una cadena de Markov, donde la posición que tendrá una página en el buscador será determinada por su peso en la distribución estacionaria de la cadena.
Juegos de azar [editar]
Son muchos los juegos de azar que se pueden modelar a través de una cadena de Markov. El modelo de la ruina del jugador, que establece la probabilidad de que una persona que apuesta en un juego de azar eventualmente termine sin dinero, es una de las aplicaciones de las cadenas de Markov en este rubro.
Economía y Finanzas [editar]
Las cadenas de Markov se pueden utilizar en modelos simples de valuación de opciones para determinar cuándo existe oportunidad de arbitraje, así como en el modelo de colapsos de una bolsa de valores o para determinar la volatilidad de precios.
Música [editar]
Diversos algoritmos de composición musical usan cadenas de Markov, por ejemplo el software Csound o Max
domingo, 11 de abril de 2010
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El método de Monte Carlo es un método no determinístico o estadístico numérico usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora.
El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la segunda guerra mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE.UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fusión, la cual posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de trazado de rayos para la generación de imágenes sintéticas.
Monte carlo
En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método.
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El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Monte Carlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como \frac{1}{\sqrt{N}} en virtud del teorema del límite central.
Orígenes del método [editar]
Ejemplo de aplicación de Monte Carlo. En el juego de barcos, primero se realizan una serie de tiros a puntos aleatorios. Si el jugador genera un algoritmo puede deducir la posición del barco conocidos los datos anteriores.
La invención del método de Monte Carlo se asigna a Stan Ulam y a John von Neumann. Ulam ha explicado cómo se le ocurrió la idea mientras jugaba un solitario durante una enfermedad en 1946. Advirtió que resulta mucho más simple tener una idea del resultado general del solitario haciendo pruebas múltiples con las cartas y contando las proporciones de los resultados que computar todas las posibilidades de combinación formalmente. Se le ocurrió que esta misma observación debía aplicarse a su trabajo de Los Álamos sobre difusión de neutrones, para la cual resulta prácticamente imposible solucionar las ecuaciones íntegro-diferenciales que gobiernan la dispersión, la absorción y la fisión. “La idea consistía en probar con experimentos mentales las miles de posibilidades, y en cada etapa, determinar por casualidad, por un número aleatorio distribuido según las probabilidades, qué sucedería y totalizar todas las posibilidades y tener una idea de la conducta del proceso físico”.
Podían utilizarse máquinas de computación, que comenzaban a estar disponibles, para efectuar las pruebas numéricas y en efecto reemplazar el aparato experimental del físico. Durante una de las visitas de von Neumann a Los Álamos en 1946, Ulam le mencionó el método. Después de cierto escepticismo inicial, von Neumann se entusiasmó con la idea y pronto comenzó a desarrollar sus posibilidades en un procedimiento sistemático. Ulam expresó que Monte Carlo “comenzó a tener forma concreta y empezó a desarrollarse con todas sus fallas de teoría rudimentaria después de que se lo propuse a Johnny”.
A principios de 1947 Von Neumann envió una carta a Richtmyer a Los Álamos en la que expuso de modo influyente tal vez el primer informe por escrito del método de Monte Carlo. Su carta fue encuadernada junto con la respuesta de Richtmyer como un informe de Los Álamos y distribuida entre los miembros del laboratorio. Von Neumann sugería aplicar el método para rastrear la generación isótropa de neutrones desde una composición variable de material activo a lo largo del radio de una esfera. Sostenía que el problema era adecuado para el ENIAC y estimaba que llevaría 5 horas calcular la acción de 100 neutrones a través de un curso de 100 colisiones cada uno.
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Ulam estaba particularmente interesado en el método Monte Carlo para evaluar integrales múltiples. Una de las primeras aplicaciones de este método a un problema determinista fue llevada a cabo en 1948 por Enrico Fermi, Ulam y von Neumann cuando consideraron los valores singulares de la ecuación de Schrödinger.
Ejemplo [editar]
Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así:
CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499
CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999
Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA.
En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.
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El método de Monte Carlo es un método no determinístico o estadístico numérico usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora.
El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la segunda guerra mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE.UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fusión, la cual posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de trazado de rayos para la generación de imágenes sintéticas.
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En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método.
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Orígenes del método [editar]
Ejemplo de aplicación de Monte Carlo. En el juego de barcos, primero se realizan una serie de tiros a puntos aleatorios. Si el jugador genera un algoritmo puede deducir la posición del barco conocidos los datos anteriores.
La invención del método de Monte Carlo se asigna a Stan Ulam y a John von Neumann. Ulam ha explicado cómo se le ocurrió la idea mientras jugaba un solitario durante una enfermedad en 1946. Advirtió que resulta mucho más simple tener una idea del resultado general del solitario haciendo pruebas múltiples con las cartas y contando las proporciones de los resultados que computar todas las posibilidades de combinación formalmente. Se le ocurrió que esta misma observación debía aplicarse a su trabajo de Los Álamos sobre difusión de neutrones, para la cual resulta prácticamente imposible solucionar las ecuaciones íntegro-diferenciales que gobiernan la dispersión, la absorción y la fisión. “La idea consistía en probar con experimentos mentales las miles de posibilidades, y en cada etapa, determinar por casualidad, por un número aleatorio distribuido según las probabilidades, qué sucedería y totalizar todas las posibilidades y tener una idea de la conducta del proceso físico”.
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Ulam estaba particularmente interesado en el método Monte Carlo para evaluar integrales múltiples. Una de las primeras aplicaciones de este método a un problema determinista fue llevada a cabo en 1948 por Enrico Fermi, Ulam y von Neumann cuando consideraron los valores singulares de la ecuación de Schrödinger.
Ejemplo [editar]
Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así:
CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499
CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999
Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA.
En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.
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